导数在高中阶段的应用及指导策略之研究

发表时间:2018/7/5   来源:《素质教育》2018年8月总第281期   作者:杨鸣岐
[导读] 导数在高中时期的数学教材中处在极为特殊的位置,其关联初、高等数学知识内容的关键交汇点。

黑龙江省哈尔滨市阿城区第一中学 150300
        摘 要:导数是高中教材内容中新增加的内容,其给高中数学知识的学习添加了新鲜的学业,尤其是导数所具备的广泛应用性,为了更好地解决函数、不等式、数列、切线等实际问题带来的新思路、方式,让其变成高考实体当中的热点、命题新的增长点。最近几年高考命题的大趋势表明:导数地位不断上升,并且已经成为分析、解决问题的关键工具。
        关键词:导数 高中阶段 指导策略
        导数在高中时期的数学教材中处在极为特殊的位置,其关联初、高等数学知识内容的关键交汇点。导数是高中教材内容中新增的内容,其不仅给高中教材注入新鲜的学业,更为之增添了新的活力,尤其是导数自身的广泛应用性,未解决数学知识中的相关问题带来全新的思路与方式。把导数同传统内容真正整合起来,不但可强化对学习能力的考察力度,并且也让试题具备广泛的实践意义。
一、使用导数解决数学知识中的函数问题
        1.使用导数解决函数的最值。
        高中时期数学知识学习的重点就是求函数的最值,这也是高中数学的难点,是每年高考试题中都会出现的内容,其还涉及到函数知识的多个层面,使用导数来解决这些问题就简化了解题的过程,步骤变得很清晰,也更加容易把握,继而有效明晰函数知识的形态。
        2.使用导数求节函数单调区间。
        函数单调性是函数关键的性质,是在探究函数的时候一定要重视的性质之一。函数单调性同函数的导数间存在密切的关联,使用导数知识内容探究函数的单调性,综合导数中的几何意义,只要考量f`(x)的正负就可以了,当f`(x)>0的时候,f(x)存在单调递增;当f`(x)<0的时候,f(x)存在单调递减,这个方式简单、便捷并且可适用的面积广泛。
        例如,在求f(x)=ex-ax-1的单调递增区间。
        解答:由于f(x)=ex-ax-1,以f`(x)= ex- a,令f`(x)≥0,求得ex≥a,当a≤0的时候,存在f`(x)>0且其在R上恒成立;当a>0的时候,存在x≥lna。


同上,当a≤0的时候,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0的时候,f(x)的单调递增区间为[lna,+∞)。
        3.利用导数解决函数中恒成立问题。
        例题:假设函数f(x)=1/2x2ex。
        (1)求f(x)的单调区间。
        (2)如果当x∈[-2,2]的时候,不等式f(x)>m恒成立,那么求解实数m的取值范围。
        解答:
        (1)f`(x)=xe2+1/2x2ex=ex/2x(x+2)。
因为ex/2x(x+2)>0,由此解得x>0或者x<-2,因此(-∞,-2),(0,+∞)是f(x)的递增区间,因为ex/2x(x+2)<0,解得-2<x<0,因此(-2,0)是f(x)的递减区间。
        (2)令f`(x)=0,解得x=0或者-2,由于f(-2)=2/e2,f(2)=2e2,f(0)=0,因此f(x)∈[0,2e2],又由于f(x)>m恒成立,因此m<0。
二、 使用导数解决数学中的切线问题
        这样的题型一般可分为点在曲线上、外两种情形。f`(x0)的几何意义是曲线在点P(x0, f(x0))处切线的斜率,经过点P的切线方程是y-f(x0)=f`(x0)(x-x0),可是一定要注意点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,不然极其容易出错。
        例如:求解曲线y=ex在原点位置上的切线方程。
        分析:这一类题型是点并不位于曲线之上,求解切线方程,一定要先设置出切点坐标,把切线方程内容展示出来,将已知的点代入到方程中,在解出切点的坐标以后,再去求切线的方程。
        解答:很明显点(0,0)并不在曲线y=ex上,y`=ex假设切点位置的坐标是P(x0,y0),所以y=ex0,那么经过P点的切线方程式是y-ex0=ex0(x-x0)由于点(0,0)在切线之上,因此-ex0=ex0(-x0),也就是x0=1,因此P(1,e), 因此切线的方程式是y-e=e(x-1),也就是ex-y=0。
三、 利用导数解决不等式问题
        对最近几年的高考进行仔细观察,所有涉及到不等式证明的问题,都具有极强的综合性,并且具有大量的思维,所以导数一直都是高考题目的难点内容。使用导数来证明不等式,也就是使用不等式同函数间的关联进行直接或者间接的变形值周,综合不等式的构造特点,设立对应的函数方程,经过导数的运算判断函数单调性,把证明不等式转变成为函数问题。
四、结束语
        总而言之,导数不但能够让学生认知数学知识的价值,更能让学生的思维能力获得全面发展,给未来的学习奠定基础,所以,在高中时期开设导数课程具有极为必要。
参考文献
[1]华燕萍 高中生“导数及其应用”学习中的常见错误分析及教学对策研究[D],2014。
[2]马艳 浅谈导数在高中数学中的应用[J].基础教育论坛,2016,(22)。

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