概念在数学解题中的应用

发表时间:2018/7/6   来源:《教育学》2018年6月总第144期   作者:杨耘
[导读] 本文通过一些例子来说明数学概念在解题中的应用,以此来唤起学生对数学概念的注意。

江苏省泰兴市第一高级中学 225400     
        摘 要:理解数学概念是掌握数学及其运算性质、法则、公式等基础知识的前提,又是发展智力、培养能力的基础。数学概念是空间形式和数量关系以及它们的本质属性在人的思维中的反映,它是数学知识的重要组成部分。本文通过一些例子来说明数学概念在解题中的应用,以此来唤起学生对数学概念的注意。
        关键词:定义 回归 数学概念
        数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式,是对一类数学对象的本质属性的反映。数学概念是数学知识中最基本的内容,是数学认知结构的重要组成部分,它还是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是数学学科系统的精髓和灵魂。不少初中毕业生以较高的数学考分升入高中后,不适应高中数学学习,数学成绩大幅度下降,甚至丧失数学学习的信心,不能很好地完成高中学业。造成高中数学成绩大面积下降的原因有多种,我认为数学概念理解不够透彻是原因之一,有不少学生甚至教师在教学过程中“重解题、轻概念”,造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个名词而已,认为概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆,而没有看到像函数、向量这样的概念,本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法。这就造成学生对概念含糊不清、一知半解,不能很好地理解和运用概念,严重影响了学生的解题质量。
        我们应该了解数学概念的特点:1.数学概念具有普遍性和严谨性。数学概念是数学研究对象的高度抽象和概括,反映的是数学对象的本质属性。2.数学概念具有抽象性。数学概念反映的是数学对象的本质属性,并且用反映概念本质特征的符号来表示,使用了形式化、符号化的语言使数学概念更加抽象。3.数学概念具有生成性。数学概念大多是在原始概念的基础上,采用逻辑定义的方法,以语言或符号的形式使之固定,先前的概念往往是后续概念的基础,从而形成了数学概念的系统结构。数学概念的内涵,深刻而全面地揭示了对象的本质。若我们在解题时注意数学概念的应用,往往能起到意想不到的效果。
一、巧用圆锥曲线的定义解题
        例1:经过抛物线焦点F的弦AB与抛物线轴成角θ,试证明此弦在抛物线内的截线等于   。其中L为正焦弦之长。


        解:如图建立坐标系,设抛物线方程为y2=2px,则焦点为F( ,0)。
        设A(x1,y1),B(x2,y2),由定义知:|AB|=|BF|+|AF|=|BB`|+|AA`|=( +x1)+( +x2)(A`和B`分别是A和B在准线上的射影)。
        依题意AB方程为y=tanθ(x- ),由y2=2px得:[tanθ·(x- )]2=2px,即tan2θ·x2-p(tan2θ+2)x+ tan2θ=0。
        由韦达定理得:x1+x2=      ,|AB|=p+(x1+x2)=   =   。
二、回归定义解立体几何
        例2:已知三棱台ABC-A`B`C`的侧面A`ACC`是底角为45°的等腰梯形,且该侧面与底面垂直,∠ABC=90°。

        求证:面A`ABB`⊥面B`BCC`。
        分析:显然所证结论与上底面A`B`C`的位置无关,即△A`B`C`的位置可处于不确定状态,因而不妨试它退化为一点P,把棱台补成圆锥。
        证明:把棱台A`B`C`-ABC补成棱锥P—ABC,∵面PAC⊥面ABC,面PAC∩面ABC=AC,BC⊥AC,∴BC⊥面PAC,∴BC⊥PA。∵PA⊥PC(等腰梯形A`ACC`的底角为45°),∴PA⊥面PBC,故面A`ABB`⊥面B`BCC`。
三、应用定义解函数题
        例3:已知函数f(x)=      为奇函数,求正数a的值并求f(x)的单调减区间。
        分析:由奇函数的定义“若对函数的定义域内的任何一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数”知:(1)定义域关于原点对称,(2)在求单调区间时要注意单调区间是定义域的子集。
        解:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)-f(x)。
        即      =-      ,解得a=1。
        函数f(x)=      的定义域为{x|x≠2kπ且x≠kπ+ (k∈Z)},化简得:f(x)=   。故f(x)的单调减区间为(2kπ,2kπ+ )∪(2kπ+ ,2kπ+ )∪(2kπ+ ,2kπ+2π)(k∈Z) 。
四、利用概念解集合题
        解题的关键是理解集合、子集、真子集的概念。
        例4:已知集合M={u|u=12m+8n+4L,m,n,L∈Z}与集合N={v|v=20p+16q+12r,p,q,r∈Z},则它们关系为( )。
        解:任意的u`∈M,有u`=12+8n+4L=20n+16L+12(m-n-L)∈NMN任意v`∈N,有v`=20p+16q+12r=12r+8·(2q)+4·(5p)∈MNM,故M=N。
        由此可见,只有理解、掌握了概念,才能更好地帮助学生落实“双基”,更好地帮助学生认识数学,认识数学的思想和本质,进一步发展学生的思维,提高学生的数学能力。

 

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